Actividad sobre Equivalencias Lógicas

Debido a que hoy no pudimos realizar la actividad escrita que teníamos planeada, utilizaremos este medio para realizar una sencilla actividad que les permita autoevaluarse. 
Cualquier duda o consulta surgida mientras realizan los trabajos serán evacuadas en clase.

1. (p ↔ q) ↔ [(p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q)]
2. ¬(¬p ↔ q) ↔ ¬[(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]
3. p → [¬p ∨ ( p ∧ q ) ]
4. (¬p ∧ q ) ∨ ¬ ( p ∨ q )
5. ¬p ∧ [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) ]

 

①

(p ↔ q) ↔ [(p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q)]                                          p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

[(p → q) ∧ (q → p)] ↔ [(p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q)]                                         p → q ≡ ¬p ∨ q

[(¬p ∨ q) ∧ (q → p)] ↔ [(p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q)]                                         p → q ≡ ¬p ∨ q

[(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)] ↔ [(p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q)]                           Leyes conmutativas de V

[(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)] ↔ [(p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q)]                           Leyes conmutativas de ∧

[(p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q)] ↔ [(p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q)]

②

¬(¬p ↔ ¬q) ↔ ¬[(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]                                             p ↔ q ≡ ¬p ↔ ¬q

¬(p ↔ q) ↔ ¬[(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]                                      p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)

¬(p ↔ q) ↔ ¬(p ↔ q)

③

p → [¬p ∨ (p ∧ q)]                                                                              p → q ≡ ¬p ∨ q

¬p ∨ [¬p ∨ (p ∧ q)]                                                                               Asociativa de ∨

(¬p ∨ ¬p) ∨ (p ∧ q)                                                                            Idempotente de ∨

¬p ∨ (p ∧ q)

④

(¬p ∧ q) ∨ ¬(p ∨ q)                                                                           De Morgan de V

(¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)                                                                       Distributiva de ∧,V

¬ p ∧ (q ∨ ¬q)                                                                                       Negación de V

¬ p ∧ V                                                                                                  Identidad de ∧

¬ p

 

 

⑤

¬p ∧ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]                                                                  Distributiva de ∧,V

¬p ∧ [p ∧ (q V r)]                                                                                 Asociativa de ∧

(¬p ∧ p) ∧ (q V r)                                                                              Conmutativa de ∧

(p ∧ ¬p) ∧ (q V r)                                                                                   Negación de ∧

F ∧ (q V r)                                                                                         Conmutativa de ∧

(q V r) ∧ F                                                                                                                 Dominación de ∧

F